概念

在数学中，两个集合X和Y的笛卡儿积（Cartesian product），又称直积，表示为 X × Y。设A、B是任意两个集合，在集合A中任意取一个元素x，在集合B中任意取一个元素y，组成一个有序对（x，y），把这样的有序对作为新的元素，他们的全体组成的集合称为集合A和集合B的直积，记为A×B，即 A×B={（x，y）|x∈A且y∈B}。

假设集合 A={a, b}，集合 B={0, 1, 2}，则两个集合的笛卡尔积为 {(a, 0), (a, 1), (a, 2), (b, 0), (b, 1), (b, 2)}。

举例

给出三个域：

D1 = { 张清玫，刘逸 }
D2 = {计算机专业，信息专业}
D3 = {李勇，刘晨，王敏}

则 D1，D2，D3 的笛卡尔积 D = D1×D2×D3，等于：

{
    (张清玫, 计算机专业, 李勇),
    (张清玫, 计算机专业, 刘晨),
    (张清玫, 计算机专业, 王敏),
    (张清玫, 信息专业, 李勇),
    (张清玫, 信息专业, 刘晨),
    (张清玫, 信息专业, 王敏),
    (刘逸, 计算机专业, 李勇),
    (刘逸, 计算机专业, 刘晨),
    (刘逸, 计算机专业, 王敏),
    (刘逸, 信息专业, 李勇),
    (刘逸, 信息专业, 刘晨),
    (刘逸, 信息专业, 王敏)
}

这样就把D1、D2、D3这三个集合中的每个元素加以对应组合，形成庞大的集合群。本个例子中的D中就会有 2X2X3=12 个元素，如果一个集合有1000个元素，有这样3个集合，他们的笛卡尔积所组成的新集合会达到十亿个元素。假若某个集合是无限集，那么新的集合就将是有无限个元素。

PHP代码 - 输出数组形式

function Descartes()
{
    $t = func_get_args();                                    // 获取传入的参数
    if (func_num_args() == 1) {                               // 判断参数个数是否为1
        return call_user_func_array(__FUNCTION__, $t[0]);  // 回调当前函数，并把第一个数组作为参数传入
    }
    $a = array_shift($t);        // 将 $t 中的第一个元素移动到 $a 中，$t 中索引值重新排序
    if ( !is_array($a)) {
        $a = [$a];
    }
    $a = array_chunk($a, 1);     // 分割数组 $a ，为每个单元1个元素的新数组
    do {
        $r = [];
        $b = array_shift($t);
        if ( !is_array($b)) {
            $b = [$b];
        }
        foreach ($a as $p) {
            foreach (array_chunk($b, 1) as $q) {
                $r[] = array_merge($p, $q);
            }
        }
        $a = $r;
    } while ($t);
    return $r;
}

使用：

$arr = [
    [
        '张清玫',
        '刘逸'
    ],
    [
        '计算机专业',
        '信息管理与信息系统专业',
        '电子商务专业'
    ],
    [
        '2018级',
        '2017级'
    ]
];
$r = Descartes($arr);

效果：

array(12) {
  [0]=>
  array(3) {
    [0]=>
    string(9) "张清玫"
    [1]=>
    string(15) "计算机专业"
    [2]=>
    string(7) "2018级"
  }
  [1]=>
  array(3) {
    [0]=>
    string(9) "张清玫"
    [1]=>
    string(15) "计算机专业"
    [2]=>
    string(7) "2017级"
  }
  [2]=>
  array(3) {
    [0]=>
    string(9) "张清玫"
    [1]=>
    string(33) "信息管理与信息系统专业"
    [2]=>
    string(7) "2018级"
  }
  [3]=>
  array(3) {
    [0]=>
    string(9) "张清玫"
    [1]=>
    string(33) "信息管理与信息系统专业"
    [2]=>
    string(7) "2017级"
  }
  [4]=>
  array(3) {
    [0]=>
    string(9) "张清玫"
    [1]=>
    string(18) "电子商务专业"
    [2]=>
    string(7) "2018级"
  }
  [5]=>
  array(3) {
    [0]=>
    string(9) "张清玫"
    [1]=>
    string(18) "电子商务专业"
    [2]=>
    string(7) "2017级"
  }
  [6]=>
  array(3) {
    [0]=>
    string(6) "刘逸"
    [1]=>
    string(15) "计算机专业"
    [2]=>
    string(7) "2018级"
  }
  [7]=>
  array(3) {
    [0]=>
    string(6) "刘逸"
    [1]=>
    string(15) "计算机专业"
    [2]=>
    string(7) "2017级"
  }
  [8]=>
  array(3) {
    [0]=>
    string(6) "刘逸"
    [1]=>
    string(33) "信息管理与信息系统专业"
    [2]=>
    string(7) "2018级"
  }
  [9]=>
  array(3) {
    [0]=>
    string(6) "刘逸"
    [1]=>
    string(33) "信息管理与信息系统专业"
    [2]=>
    string(7) "2017级"
  }
  [10]=>
  array(3) {
    [0]=>
    string(6) "刘逸"
    [1]=>
    string(18) "电子商务专业"
    [2]=>
    string(7) "2018级"
  }
  [11]=>
  array(3) {
    [0]=>
    string(6) "刘逸"
    [1]=>
    string(18) "电子商务专业"
    [2]=>
    string(7) "2017级"
  }
}