计算机最基本的操作单元是字节，一个字节由8个位组成，一个位只能存储一个0或1。所有数据在计算机中都是采用二进制，即 1 和 0 的编码存储和运算。

这次尝试在 PHP 中使用位运算实现四则运算，首先介绍一些基本概念：

原码：将最高位作为符号位(0表示正，1表示负)，其它数字位代表数值本身的绝对值

反码：正数反码和原码一样；如果是负数，符号位不变，其余各位取反

补码：正数补码和原码一样；负数补码为反码加 1

计算机中的数使用 补码  的形式存储

⒈ 加法

二进制中只有 0 和 1，0 + 0、0 + 1 都不需要进位，但 1 + 1 则需要进位。所以，首先通过 抑或 运算得到不需要进位的那些位相加的结果。然后进行 与 运算，当相加的两位都为 1 时结果为 1。所以如果与运算的结果大于 0 说明需要进位，此时将与运算的结果按位左移 1 位，此时将左移的结果与抑或运算得到的结果重新进行上述的运算过程，直到与运算的结果为 0。

<?php
  function add($summand, $addend)
  {
    $sum = $summand ^ $addend;
    // 判断进位
    $carry = $summand & $addend;
    while ($carry <<= 1) {
      $summand = $sum;
      $addend = $carry;
      $sum = $summand ^ $addend;
      $carry = $summand & $addend;
    }
    return $sum;
  }

⒉ 减法

减法可以看作是减数为负数的加法，例如 2 - 1 可以看作是 2 + （-1）。

<?php
  require 'addition.php';

  function subtract($minuend, $subtrahend)
  {
    // 先求得减数的补码，然后求和
    $subtrahend = add(~$subtrahend, 1);

    return add($minuend, $subtrahend);
  }

⒊ 乘法

乘法也可以看作是加法的变种，例如 m * n 可以看作是 n 个 m 相加的结果。但乘法使用位运算还有更快捷的实现方式。例如 3 * 10：3 的二进制表示为 0011，10 的二进制表示为 1010

0 0 1 1

×      1 0 1 0

――――――――――――

0 0 0 0

0 0 1 1 0

0 0 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0

――――――――――――

0 0 1 1 1 1 0

由上图可以看出，乘法计算的结果为：当乘数的位的值为 1 时，将被乘数按位左移相应的位数，最后将这些按位左移后得到的结果相加及时最后的结果。

<?php  require 'addition.php';
  function multiply($multiplicand, $multiplicator)
  {
    // 判断符号位
    $flag = ($multiplicand ^ $multiplicator) < 0 ? false : true;
    // 被乘数和乘数取绝对值
    $multiplicand = $multiplicand < 0 ? add(~$multiplicand, 1) : $multiplicand;
    $multiplicator = $multiplicator < 0 ? add(~$multiplicator, 1) : $multiplicator;
    $product = 0;
    $multiplicator = decbin($multiplicator);
    $length = strlen($multiplicator);
    for ($i = 0; $i < $length; $i ++) {
      if ($multiplicator[$i]) {
        $product += $multiplicand << $length - $i - 1;
      }
    }
    if (! $flag) {
      $product = add(~$product, 1);
    }
    return $product;
  }

⒋ 除法

同乘法类似，除法可以看作是被除数可以减去多少个除数。

<?php
  require 'addition.php';

  function divide($dividend, $divisor)
  {
    // 判断符号位
    $flag = ($dividend ^ $divisor) < 0 ? false : true;
    // 取得被除数符号位
    $dividend_flag = $dividend < 0 ? false : true;
    // 取绝对值
    $dividend = $dividend < 0 ? add(~$dividend, 1) : $dividend;
    $divisor = $divisor < 0 ? add(~$divisor, 1) : $divisor;

    $quotient = 0;
    $remainder = 0;

    if ($dividend < $divisor) {
      // 被除数小于除数的情况
      $remainder = $dividend;
      return 'quotient = ' . $quotient . ' remainder = ' . $remainder;
    }

    while ($dividend >= $divisor) {
      $i = 0;
      $mul_divisor = $divisor;

      while ($dividend >= ($mul_divisor << 1)) {
        $i ++;
        $mul_divisor <<= 1;
      }

      $dividend -= $mul_divisor;
      $quotient += 1 << $i;
    }

   $remainder = $dividend;
   if (! $flag) {
     $quotient = add(~ $quotient, 1);
   }
   if (! $dividend_flag) {
     $remainder = add(~$remainder, 1);
   }

   return 'quotient = ' . $quotient . ' remainder = ' . $remainder;
  }

以上。

需要指出的是，上面的代码在实现过成功并没有考虑数据的溢出。 两个很大的数相加可能会溢出；正数减负数也可能溢出；两个大数相乘也会溢出；任何数除以 0 都会溢出。

总结