算法复杂度分为时间复杂度和空间复杂度。
其作用：
时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量；
而空间复杂度是指执行这个算法所需要的内存空间。
（算法的复杂性体现在运行该算法时的计算机所需资源的多少上，计算机资源最重要的是时间和空间（即寄存器）资源，因此复杂度分为时间和空间复杂度）。

简单来说，

时间复杂度指的是语句执行次数
空间复杂度指的是算法所占的存储空间

时间复杂度

执行算法所需的计算工作量。一般来说，计算机算法是问题规模n的函数f(n),算法的时间复杂度也因此记做T(n)=O(f(n));
常见时间复杂度有:常数阶、线性阶、平方阶、立方阶、对数阶、nlog2n阶、指数阶
效率：O(1) > O(log2n)> o(n)> o(nlog2n) > o(n^2) > o(n^3) > o(2^n) > o(n!) > o(n^n) 

其他概念

最坏情况：最坏情况时的运行时间，一种保证。如果没有特别说明，说的时间复杂度即为最坏情况的时间复杂度

时间复杂度计算方式

举例：计算1+2+3+....+n的和

$sum=0

for($i=1;$i<=$n;$i++){
$sum+=$i
}

可以看到循环了n次，所以时间复杂度就是O(n), 时间复杂度就是程序计算次数
其他说明

1.用常数1来取代所有时间中的所有加法常数

比如上面的例子中，不管n为多少，计算次数都是3，那么时间复杂度为O(1),而不是O(3) 

2.在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项

比如运算的次数为n^2+1,那么为时间复杂度为o(n^2) 

3.如果最高阶存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数

2n^2+3n+1 ->n^2

为什么会去掉这些值，看下图

当计算量随着次数原来越大的时候，n和1的区别不是太大，而n^{2曲线变得越来越大，所以这也是2n}2+3n+1 ->n^{2最后会估量成n}2的原因,因为3n+1随着计算次数变大，基本可以忽略不计，其他都类似
常数阶 O(1)

function test($n){
echo $n;
echo $n;
echo $n;
}

不管$n是多少，只运行3次，那么时间复杂度就是O(3),取为O(1)
线性阶 O(n)

for($i=1;$i<=$n;$i++){
$sum+=$i
}

平(立)方阶：o(n^2)/o(n3)

$sum=0;
for($i=1;$i<=$n;$i++){
for($j=1;$j<$n;$j++){
$sum+=$j
}
}

两次循环，里面循环执行了n次，外层循环也执行了n次，所以时间复杂度为O(n^2),立方阶一样

特殊平方阶：O(n^{2/2+n/2)->O(n}2)

for(){
for(){
..... ----------->n^2
}
}
+
for(){
------------> n
}

                              +

echo $a+$b --------------> 1

所以整体上计算次数为n^2+n+1,我们算时间复杂度为O(n^2) 

对数阶：O(log2n)

如果a的x次方等于N（a>0，且a不等于1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作x=logaN。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。 [1]

while($n>=1){
$n=$n/2;
}

n 执行次数
1 1
2 2
3 2

规律：

第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
20--------->10---------->5-------->2.5------->1
n n/2 n/2/2 n/2/2/2 n/2/2/...

所有规律:n/(2^m)=1;我们需要算出m, 转换成n=2^m,得出m=log2n,所以时间复杂度为O(logn)或者O(log2n)
空间复杂度

算法需要消耗的内存空间。即为S(n)=O(f(n));包括程序代码所占用的空间，输入数据所占用的空间和辅助变量所占用的空间这三个方面。计算和表达方式与时间复杂度类似，一般用复杂度的渐近性来表示

关于O(1)的问题， O(1)是说数据规模和临时变量数目无关，并不是说仅仅定义一个临时变量。举例：无论数据规模多大，我都定义100个变量，这就叫做数据规模和临时变量数目无关。就是说空间复杂度是O(1)。

空间复杂度计算方式

举例：冒泡排序的元素交换，空间复杂度O(1)
冒泡排序就是两两交换，中间设置临时变量存储交换的值，不管要交换的数据多大，临时变量始终为固定数量

冒泡排序:把$arr=[1,3,2,4,6,5]排序出来

原理：两两相邻的数进行比较，如果反序就交换，否则不交换
1 3 2 4 6 5

首先1和3比较，不动
1 3 2 4 6 5

再次3和2比较，交换
1 2 3 4 6 5

再次3和4比较，不动
1 2 3 4 6 5

再次4和6比较，不动
1 2 3 4 6 5

再次6和5比较，交换
1 2 3 4 5 6

for($i=0;$i<=$n;$i++){
for($j=0;$j<=$n;$j++){

if($arr[$j]>$arr[$j+1]){
   $tmp=$arr[$j]; 
  $arr[$j]=$arr[$j+1];
  $arr[$j+1]=$tmp;
}
}

}

所以时间复杂度为O(n^2),空间复杂度为O(1)
常见排序算法

冒泡排序、直接插入排序、希尔排序、选择排序、快速排序、对排序、归并排序

常见查找算法

二分查找、顺序查找