python 留一交叉验证

基本原理

K折交叉验证

简单来说，K折交叉验证就是：

• 把数据集划分成K份，取出其中一份作为测试集，另外的K - 1份作为训练集。
• 通过训练集得到回归方程，再把测试集带入该回归方程，得到预测值。
• 计算预测值与真实值的差值的平方，得到平方损失函数（或其他的损失函数）。
• 重复以上过程，总共得到K个回归方程和K个损失函数，其中损失函数最小的回归方程就是最优解。

留一交叉验证

留一交叉验证是K折交叉验证的特殊情况，即：将数据集划分成N份，N为数据集总数。就是只留一个数据作为测试集，该特殊情况称为“留一交叉验证”。

代码实现

'''留一交叉验证'''
import numpy as np

# K折交叉验证
data = [[12, 1896], [11, 1900], [11, 1904], [10.8, 1908], [10.8, 1912], [10.8, 1920], [10.6, 1924], [10.8, 1928],
        [10.3, 1932], [10.3, 1936], [10.3, 1948], [10.4, 1952], [10.5, 1956], [10.2, 1960], [10.0, 1964], [9.95, 1968],
        [10.14, 1972], [10.06, 1976], [10.25, 1980], [9.99, 1984], [9.92, 1988], [9.96, 1992], [9.84, 1996],
        [9.87, 2000], [9.85, 2004], [9.69, 2008]]

length = len(data)

# 得到训练集和测试集
def Get_test_train(length, data, i):
    test_data = data[i]  # 测试集
    train_data = data[:]
    train_data.pop(i)  # 训练集
    return train_data, test_data

# 得到线性回归直线
def Get_line(train_data):
    time = []
    year = []
    average_year_time = 0
    average_year_year = 0

    for i in train_data:
        time.append(i[0])
        year.append(i[1])

    time = np.array(time)
    year = np.array(year)

    average_year = sum(year) / length  # year拔
    average_time = sum(time) / length  # time拔

    for i in train_data:
        average_year_time = average_year_time + i[0] * i[1]
        average_year_year = average_year_year + i[1] ** 2
    average_year_time = average_year_time / length  # (year, time)拔
    average_year_year = average_year_year / length  # (year, year)拔
    # 线性回归：t = w0 + w1 * x
    w1 = (average_year_time - average_year * average_time) / (average_year_year - average_year * average_year)
    w0 = average_time - w1 * average_year
    return w0, w1

# 得到损失函数
def Get_loss_func(w0, w1, test_data):
    time_real = test_data[0]
    time_predict = eval('{} + {} * {}'.format(w0, w1, test_data[1]))
    loss = (time_predict - time_real) ** 2
    dic['t = {} + {}x'.format(w0, w1)] = loss
    return dic

if __name__ == '__main__':
    dic = {}  # 存放建为回归直线，值为损失函数的字典

    for i in range(length):
        train_data, test_data = Get_test_train(length, data, i)
        w0, w1 = Get_line(train_data)
        Get_loss_func(w0, w1, test_data)
        dic = Get_loss_func(w0, w1, test_data)

    min_loss = min(dic.values())
    best_line = [k for k, v in dic.items() if v == min_loss][0]
    print('最佳回归直线：', best_line)
    print('最小损失函数：', min_loss)

留一法交叉验证 Leave-One-Out Cross Validation

交叉验证法，就是把一个大的数据集分为 k 个小数据集，其中 k−1 个作为训练集，剩下的 1 11 个作为测试集，在训练和测试的时候依次选择训练集和它对应的测试集。这种方法也被叫做 k 折交叉验证法（k-fold cross validation）。最终的结果是这 k 次验证的均值。

此外，还有一种交叉验证方法就是 留一法（Leave-One-Out，简称LOO），顾名思义，就是使 k kk 等于数据集中数据的个数，每次只使用一个作为测试集，剩下的全部作为训练集，这种方法得出的结果与训练整个测试集的期望值最为接近，但是成本过于庞大。

我们用SKlearn库来实现一下LOO

from sklearn.model_selection import LeaveOneOut

# 一维示例数据
data_dim1 = [1, 2, 3, 4, 5]

# 二维示例数据
data_dim2 = [[1, 1, 1, 1],
             [2, 2, 2, 2],
             [3, 3, 3, 3],
             [4, 4, 4, 4],
             [5, 5, 5, 5]]

loo = LeaveOneOut() # 实例化LOO对象

# 取LOO训练、测试集数据索引
for train_idx, test_idx in loo.split(data_dim1):
    # train_idx 是指训练数据在总数据集上的索引位置
    # test_idx 是指测试数据在总数据集上的索引位置
    print("train_index: %s, test_index %s" % (train_idx, test_idx))

# 取LOO训练、测试集数据值
for train_idx, test_idx in loo.split(data_dim1):
    # train_idx 是指训练数据在总数据集上的索引位置
    # test_idx 是指测试数据在总数据集上的索引位置
    train_data = [data_dim1[i] for i in train_idx]
    test_data = [data_dim1[i] for i in test_idx]
    print("train_data: %s, test_data %s" % (train_data, test_data))

data_dim1的输出：

train_index: [1 2 3 4], test_index [0]
train_index: [0 2 3 4], test_index [1]
train_index: [0 1 3 4], test_index [2]
train_index: [0 1 2 4], test_index [3]
train_index: [0 1 2 3], test_index [4]

train_data: [2, 3, 4, 5], test_data [1]
train_data: [1, 3, 4, 5], test_data [2]
train_data: [1, 2, 4, 5], test_data [3]
train_data: [1, 2, 3, 5], test_data [4]
train_data: [1, 2, 3, 4], test_data [5]

data_dim2的输出：

train_index: [1 2 3 4], test_index [0]
train_index: [0 2 3 4], test_index [1]
train_index: [0 1 3 4], test_index [2]
train_index: [0 1 2 4], test_index [3]
train_index: [0 1 2 3], test_index [4]

train_data: [[2, 2, 2, 2], [3, 3, 3, 3], [4, 4, 4, 4], [5, 5, 5, 5]], test_data [[1, 1, 1, 1]]
train_data: [[1, 1, 1, 1], [3, 3, 3, 3], [4, 4, 4, 4], [5, 5, 5, 5]], test_data [[2, 2, 2, 2]]
train_data: [[1, 1, 1, 1], [2, 2, 2, 2], [4, 4, 4, 4], [5, 5, 5, 5]], test_data [[3, 3, 3, 3]]
train_data: [[1, 1, 1, 1], [2, 2, 2, 2], [3, 3, 3, 3], [5, 5, 5, 5]], test_data [[4, 4, 4, 4]]
train_data: [[1, 1, 1, 1], [2, 2, 2, 2], [3, 3, 3, 3], [4, 4, 4, 4]], test_data [[5, 5, 5, 5]]