斐波那契数列

首先我们来定义一下斐波那契数列：

即数列的第0项：

算法一：递归

递归计算的节点个数是O(2ⁿ)的级别的，效率很低，存在大量的重复计算。

比如：

f(10) = f(9) + f(8)

f(9) = f(8) + f(7) 重复 8

f(8) = f(7) + f(6) 重复 7

时间复杂度是O(2ⁿ),极慢

def F1(n):
    if n <= 1: return max(n, 0)  # 前两项
    return F1(n-1)+F1(n-2)  # 递归

算法二：记忆化搜索

开一个大数组记录中间结果，如果一个状态被计算过，则直接查表，否则再递归计算。

总共有 n 个状态，计算每个状态的复杂度是 O(1)，所以时间复杂度是 O(n)。但由于是递归计算，递归层数太多会爆栈。

res = [None]*100000
def F2(n):
    if n <= 1: return max(n, 0)
    if res[n]: return res[n]  # 如果已存在则直接查找返回结果
    res[n] = F2(n-1)+F2(n-2)  # 不存在则计算
    return res[n]

算法三：递推

开一个大数组，记录每个数的值。用循环递推计算。

总共计算 n 个状态，所以时间复杂度是 O(n)。但需要开一个长度是 n 的数组，内存将成为瓶颈。

def F3(n):
    if n <= 1: return max(n, 0)
    res = [0, 1]
    for i in range(2,n+1):
        res.append(res[i-1]+res[i-2])
    return res[n]

算法四：递归+滚动变量

比较优秀的一种解法。仔细观察我们会发现，递推时我们只需要记录前两项的值即可，没有必要记录所有值，所以我们可以用滚动变量递推。

时间复杂度还是 O(n)，但空间复杂度变成了O(1)。

def F4(n):
    if n <= 1: return max(n, 0)
    fn, f0, f1 = 0, 1, 0  # fn为最终结果，f0为第0项，f1为第一项，
    for i in range(2, n+1):
        fn = f0 + f1  # 前两项和
        f0, f1 = f1, fn  # 递推变量
    return fn

算法五：矩阵乘法+快速幂

利用矩阵运算的性质将通项公式变成幂次形式，然后用平方倍增（快速幂）的方法求解第 n 项。

先说通式：

利用数学归纳法证明：

这里的a0,a1,a2是对应斐波那契的第几项

证毕。

所以我们想要的得到An，只需要求得Aⁿ，然后取第一行第二个元素即可。

如果只是简单的从0开始循环求n次方，时间复杂度仍然是O(n)，并不比前面的快。我们可以考虑乘方的如下性质，即快速幂：

这样只需要 logn 次运算即可得到结果，时间复杂度为 O(logn)

def mul(a, b):  # 首先定义二阶矩阵乘法运算
    c = [[0, 0], [0, 0]]  # 定义一个空的二阶矩阵，存储结果
    for i in range(2):  # row
        for j in range(2):  # col
            for k in range(2):  # 新二阶矩阵的值计算
                c[i][j] += a[i][k] * b[k][j]
    return c
def F5(n):
    if n <= 1: return max(n, 0)
    res = [[1, 0], [0, 1]]  # 单位矩阵，等价于1
    A = [[1, 1], [1, 0]]  # A矩阵
    while n:
        if n & 1: res = mul(res, A)  # 如果n是奇数，或者直到n=1停止条件
        A = mul(A, A)  # 快速幂
        n >>= 1  # 整除2，向下取整
    return res[0][1]